쿼터니안이란?

오일러 공식에 의해 복소수를 삼각함수로 표현할 수 있다는 점에 착안하여 삼각함수 없이도 회전변환 할 수 있게 해주는 방법. (수정)

$\large{e^{i \theta}=cos \theta +i \; sin\theta \; \; \; (Eulear's formula)}$

오일러 공식을 허수 평면에서 나타내면 다음과 같다.

$\large{e^{i \varphi} \cdot (1, 0)=e^{i \varphi} \cdot (1 +i \cdot 0)=(cos \varphi +i \; sin\varphi) \cdot (1 +i \cdot 0)=cos \varphi +i \; sin\varphi}$

즉, 오일러 공식을 통해 좌표 $(x, y)$를 각도 $\theta$만큼 회전시킬 수 있는 것이다.
실제로 $e^{i \theta} \cdot (x+iy)$를 하면 2차원 유클리디언 공간에서 각도 $\theta$만큼 회전한 좌표가 나온다.

$\large{e^{i \theta} \cdot (x+iy)=(cos \theta +i \; sin\theta)(x+iy)=(x \; cos \theta-y \; sin \theta)+i(x \; sin \theta+y \; cos \theta)}$

이때의 실수부와 허수부를 좌표 $(x^{‘}, y^{‘})$라고 할 때, $x^{‘}$와 $y^{‘}$는 다음과 같다.

$\large{\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \; cos \theta-y \; sin \theta\\ x \; sin \theta+y \; cos \theta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos \theta & -sin \theta\\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}}$

이것은 내가 알던 회전변환 행렬과 같다. 결론적으로 2차원 유클리디언 평면 위의 한 점을 허수평면에서 나타낸 뒤, $e^{i \theta}$를 곱하여 회전한 좌표를 구하면 회전한 좌표를 구할 수 있다. 더욱 간단하게 말하면

1. 허수 평면 좌표$(x, y)$ 오일러 공식을 곱하고
2. 허수 벡터 성분 $i$를 떼고 실수부, 허수부를 취한다.
3. 그리고 남은 식에서 $x, y$벡터 성분을 떼면 회전 행렬만 남는다.

1843년 수학자 William R.Hamilton은 3차원 회전을 표현할 수 있는 복소수의 형태를 발견했다. 그것을 쿼터니안이라고 불렀다. 쿼터니안의 형태는 $q_0+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k$이다.

회전을 위한 쿼터니안

3차원 유클리디언 공간의 한 점을 pure quaternion의 형태로 나타낸다. 실수부가 없는 쿼터니안을 pure quaternion이라고 하는데, 표현하자면 $q=0+xi+yj+zk$이다. 회전은 $|q_{R}|=1$인 쿼터니안 $q_{R}$로 표현된다. 한 좌표계 A에서 다른 좌표계 B로 회전하는 것은 conjugation operation을 적용한 것이다.

$\large{q_{B}=q_{R}q_{A}q_{R}^{*}}$

그 결과 $q_{B}$도 pure quaternion으로 표현된다.

긴 다항식을 풀면 이런 형태로 정리된다. 각각 허수 벡터 $i, j, k$의 허수부로 깔끔하게 정리되고, 다시 허수부 안에서 3차원 유클리디언 공간의 벡터 $x, y, z$의 축으로 정리된다.

회전행렬 M을 구해보자.

이때, 벡터 $i, j, k$와 $x, y, z$를 떼고 남은 회전행렬 $M$은 다음과 같이 표현할 수 있다.
따라서 $q_{R}q_{A}q_{R}^{*}$을 $M$으로 나타내면 다음과 같다.

$\large{q_{B}=q_{R}q_{A}q_{R}^{*}=M \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i\\ j\\ k \end{bmatrix}}$

Matrix $M$은 $|q_{R}|=q_{0}^2+q_{1}^2+q_{2}^2+q_{3}^2=1 \; \leftarrow$ 이 특성때문에 간략하게 표현할 수 있다.

$\large{-q_{2}^2-q_{3}^2=q_{0}^2+q_{1}^2-1}$ $\large{-q_{1}^2-q_{3}^2=q_{0}^2+q_{2}^2-1}$ $\large{-q_{1}^2-q_{2}^2=q_{0}^2+q_{3}^2-1}$

Matrix $M$을 간략하게 표현하면

오일러 각의 회전 행렬을 쿼터니안으로 나타내는 방법

회전행렬 $M$에 $trace$ 함수를 취하면 행렬의 대각합을 구할 수 있다.

$\large{\begin{align*} Trace(M) &= M_{11}+M_{22}+M{33} \\ &= 2(3q_{0}^2+q_{1}^2+q_{2}^2+q_{3}^2-1.5) \\ &= 2(3q_{0}^2+(1-q_{0}^2)-1.5) \\ &= 2(2q_{0}^2-0.5) \\ &= 4q_{0}^2-1 \end{align*}}$

이 식으로 $q_{0}$을 구할 수 있다.

$\large{ |q_{0}|=\sqrt{\frac{Trace(M)+1}{4}} }$

$q_{0}$을 알고 있으므로 $M_{11}$로부터 $q_{1}$을 구할 수 있다.

$\large{ M_{11}=2(q_{0}^2+q_{1}^2-0.5)=2(\frac{Trace(M)+1}{4}+q_{1}^2-0.5) }$ $\large{ |q_1|=\sqrt{\frac{M_{11}}{2}+\frac{1-Trace(M)}{4}} }$

같은 방식으로 $q_2$와 $q_3$도 구할 수 있다.

$\large{ |q_2|=\sqrt{\frac{M_{22}}{2}+\frac{1-Trace(M)}{4}} }$ $\large{ |q_3|=\sqrt{\frac{M_{33}}{2}+\frac{1-Trace(M)}{4}} }$

이로서 $q_0, q_1, q_2, q_3$에 대한 식을 구했다. 이제 오일러 각 회전 행렬이 주어졌을때를 한번 생각해보자. $z$축을 중심으로 $\varphi$만큼 회전한 3차원 회전 행렬은 다음과 같다.

$\large{ M_{\varphi}=\begin{bmatrix} cos \; \varphi & -sin \; \varphi & 0 \\ sin \; \varphi & cos \; \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }$

이 회전행렬에서 $Trace(M)=2cos \; \varphi+1$이다. 이를 위에서 구한 식에 대입한다.

$\large{ |q_0|= \sqrt{\frac{2cos \; \varphi+1+1}{4}}=\sqrt{\frac{1+cos \; \varphi}{2}}=cos \; \frac{varphi}{2} }$ $\large{ |q_1|=|q_2|= \sqrt{\frac{cos \; \varphi}{2}+\frac{1-(2cos \; \varphi+1}{4}}=0 }$ $\large{ |q_3|= \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1-(2cos \; \varphi+1}{4}}=\sqrt{\frac{1-cos \; \varphi}{2}}=sin \; \frac{\varphi}{2} }$

그러므로, $z$축을 중심으로 $\varphi$만큼 회전한 쿼터니안은 다음과 같다.

$\large{ q_{\varphi}=cos \; \frac{\varphi}{2}+k \; sin \; \frac{\varphi}{2} }$

같은 방식으로 $x$축, $y$축을 중심으로 회전한 쿼터니안 역시 구할 수 있다.

$\large{ q_{\phi}=cos \; \frac{\phi}{2}+i \; sin \; \frac{\phi}{2} }$ $\large{ q_{\theta}=cos \; \frac{\\theta}{2}+j \; sin \; \frac{\theta}{2} }$

궁금한 점

쿼터니안을 사용할때 회전이동밖에 안되나요? 평행이동을 같이 표현할 수는 없나요?
그냥 쿼터니안 회전행렬 $M$을 곱해주기 전에 평행이동성분을 추가해주면 됨. 터틀봇의 자세는 위치(3차원 좌표계)+방향(쿼터니안 x,y,z,w)으로 표현
어제 보니까 x,y는 고정, 회전할때 z, w값만 바뀐다. 로봇의 z축이 천장 방향, x축이 전진 방향이었으니 z축 회전이겟지?

$\large{ q_{\varphi}=cos \; \frac{\varphi}{2}+k \; sin \; \frac{\varphi}{2} }$

뜬금없이 z가 실수부이진 않을테니… $z=sin \; \frac{\varphi}{2}$, $w=cos \; \frac{\varphi}{2}$ 라는 결론이 나온다.
근데 왜 쓰는지 아직도 모르겠네?? 왜지??

참고 자료

Quaternion Tutorial.pdf

Refstop

Deep Learning 및 SLAM을 공부하고 있습니다.

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